** Suite homographique

On considère la suite  \(\left(u_{n}\right)\) définie par \(u_0=\dfrac{3}{2}\)  et, pour tout entier naturel  `n` , par \(u_{n+1}=\dfrac{5u_{n}-4}{2u_n-1}\) .

1. Étudier les variations de la fonction \(f\)  définie sur \(]\displaystyle\frac{1}{2}\ ;\ +\infty[\)  par \(f(x)=\displaystyle\frac{5x-4}{2x-1}\) .

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel `n` ,  \(1\leqslant u_{n}\leqslant u_{n+1}\leqslant2\) .
    b. Que peut-on en déduire ?

3. Soit `\left(v_{n}\right)`  la suite définie sur `\mathbb N`  par \(v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n-2}\) .
    a. Démontrer que la suite `\left(v_{n}\right)`  est géométrique de raison 3.
    b. Déterminer le terme général de la suite `\left(v_{n}\right)` .
    c. Exprimer `u_n`  en fonction de `v_n` .
    d. En déduire que \(\forall n\in\mathbb{N},\,u_n =\dfrac{2\times3^{n}+1}{3^{n}+1}\) .

4. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\) .